三维波动方程初值问题
我们关注的是三维空间中的柯西问题：
$$ \begin{cases} u_{tt} = a^2 \Delta u,
& x \in \mathbb{R}^3, t > 0 \\ u(x,0) = \varphi(x) \\ u_t(x,0) = \psi(x) \end{cases} $$
直接求解很困难，我们将利用球面平均法将其转化为一维问题。
定义球面平均值
对于函数 $h(x)$，定义其在球心 $x$、半径 $r$ 的球面平均值为：
$$ M_h(x,r) = \frac{1}{4\pi r^2} \int_{\partial B(x,r)} h(y) dS_y $$
这个变换将三维的“空间依赖”转化为了一维的“半径依赖”。
降维：欧拉-泊松-达布方程
经过计算，球面平均值 $M_u$ 满足复杂的 EPD 方程。但如果我们做一个关键代换：
$$ v(r,t) = r \cdot M_u(x,r,t) $$
那么 $v$ 竟然满足最简单的一维波动方程：
$$ v_{tt} = a^2 v_{rr} $$
这使得我们可以直接使用 d'Alembert 公式求解！
基尔霍夫公式 (Kirchhoff)
求解出 $v$ 后，利用 $u = \lim_{r \to 0} (v/r)$，我们得到了最终解：
$$ u(x,t) = \frac{\partial}{\partial t} (t M_\varphi(x,at)) + t M_\psi(x,at) $$
物理意义： $t$ 时刻波的状态，只取决于 $t=0$ 时刻半径为 $at$ 的球面上的数据，与球内部无关。这就是为什么三维空间中声音传播清晰、无回声拖尾（强惠更斯原理）。